Мне кажется, что все дети разные, и поэтому первые игры тоже будут разные для разных семей, для разных детей.
Умение играть в настольные игры предполагает, что ребёнок готов понимать и слышать правила. Кто-то к этому готов в 3 года, а кому-то и в 5 лет сложно.

Игра "Скоростные колпачки" - мы в неё играем обычно не на скорость, и тогда можно играть лет с 4.
Если нарисованы чашки, одна в другой, то надо из стаканчиков построить башенку - в том же порядке, обращая внимание на цвет, но не обращая - на форму.

Для самых маленьких, от 2.5-3 лет - мне очень нравится игра "лапочки"
В ней отличные картонные карточки, твёрдые и приятные, и три больших деревянных кубика - с выбором зверя и выбором количества.

Скажем, выпало 2 и щенок - ищем карточку, на которой 2 щенка.
видео-инструкция

"живые картинки" - отличная игра на внимание, и для больших, и для маленьких.

Мы выкладываем на столе 6 карточек, просим их запомнить картинки, а потом говорим "Теперь честно закрывайте глаза и не подсматривайте!"
Многим детям в 5-6 лет бывает сложно честно закрывать глаза, поэтому я предлагаю им запомнить картинки - и спрятаться под стол.
Из-под стола подглядывать, какую я картинку перевернула, гораздо сложнее.

А после этого просим словами описать, что изменилось.
Скажем, "собачка проснулась"

в игру "читай-хватай" можно играть по самым разным правилам
Можно придумывать истории
А можно считать, сколько котов, сколько домов, сколько китов...
Но можно и по правилам играть - читать слово на обороте карточки и искать нужную картинку на поле.
Учтите, что начинать надо буквально с 7-8 карточек, иначе детям сложно в такой куче мелких картиночек искать что-то...

Многим нравится играть в мемори со словом и отдельными буквами, "зверобуквы" - даже с детьми, которые читать ещё совершенно не умеют, можно так играть.

"чудо-пони" - отличная малышовая кооперативная игра, не долгая и приятная.

В ней надо уметь подбирать трёх лошадок с одним общим признаком, скажем, 3 лошадки в синей попонке, или три жёлтых лошадки, или три с чёрными гривами...

Есть компактная и прекрасная игра "Доббль",
в металлической круглой коробочке.
Надо искать, какая картинка совпадает у тебя на карточке - и на верхней карте в стопке карт в центре стола.
Кто увидел, тот и забирает себе карточку.

Игра "фруктаж" - не очень простая, хотя и кажется простой.

На каждой карточке фрукты 5 видов, одного 5 штук, другого 4, третьего 3 и тп. И на обороте каждой карточки - своё задание. Если нарисован банан, то надо найти на карточке с фруктами все бананы (а они могут быть разного размера), сосчитать и ткнуть пальцем в нужную цифру.
А если написано "3", то надо найти, какого фрукта ровно 3. Это сложнее для многих детей.
С малышами можно для начала играть не на скорость. И начинать только с простых карточек-заданий, с фруктами. Удобно, что игра в приятной металлической коробочке.

Похожая по сути игра "Котосовы", там есть звери двух видов: коты и совы, с разными признаками: синие и рыжие, полосатые и пятнистые.
Если на кубике с признаками выпало "кот", то надо посчитать, сколько всех зверей такой формы.
Если на кубике с количеством выпало "3", то надо найти, какой признак встречается ровно 3 раза. Вот на этой карточке, скажем, 3 пятнистых.

Любимая игра "пиу-пиу", с курицами, петушками, и яичками, из которых вылупляются цыплята.

"Спящие королевы" - лет с шести просто хит, причём дети отлично могут играть в неё сами, и объясняют правила друг другу.

Для тех, кто любит собирать картинки из геометрических фигурок, есть игра "треугольник и компания"
А какие у ваших детей были самые любимые первые настольные игры?